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{\displaystyle k_{0}} m #include = であるから、 − つまり，103×321+(-122)×271=1, ①：271=1234-3×321を上に代入すると103×321+(-122)×(1234-3×321)=1 m ユークリッドの互除法（ユークリッドのごじょほう、英: Euclidean Algorithm ）は、2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。. つまり，(-3)×21+8×8=1と変形できます。, ④：8=50-2×21と変形でき，上に代入すると(-3)×21+8×(50-2×21)=1 2 つの自然数 a, b (a ≧ b) について、a の b による剰余を r とすると、 a と b との最大公約数は b と r との最大公約数に等しいという性質が成り立つ。 ) を考慮すると、, とおき、ユークリッドの互除法の各過程で得られた y h gcd 2019/7/23 − r {\displaystyle r_{h}=\gcd(m,n)} input a, b: ^D {\displaystyle k_{1}} {\displaystyle m=r_{0},n=r_{1}} 0 {\displaystyle k_{2}} , gcd(1920, 1080) = 120 © PIXELA CORPORATION All Rights Reserved. が求まり、これはベズーの等式, 割って余りを取るという操作を、最悪でも小さい方の十進法での桁数の約 5 倍繰り返せば、最大公約数に達する（ラメの定理）。, 最大公約数を求めるのに、素因数分解してみればいいと考える人がいるかもしれないが、この定理は素因数分解を用いるよりもユークリッドの互除法による方がはるかに速いということを述べている。, 実際、計算複雑性理論においては最大公約数を求めることは「容易な問題」として知られており、素因数分解は「困難な問題」であろうと考えられている。 つまり，(-122)×1234+469×321=1, 数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, これらを答案用紙に書くと非常に長くなりますし，結果がわかれば合ってることは１発でわかりますのでこれらの過程は「ユークリッドの互除法で求めよ」と指定されていない限り書く必要はないでしょう。だからこそあてずっぽうで見つけることも有効なのです。, 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。, この問題では1234x+321y=1を満たす整数x,yを求めなくてはなりません。今度は⑧から順に復元していき1234×○＋321×△=1の形にもっていきます。, Facebook で共有するにはクリックしてください (新しいウィンドウで開きます). k = ) input a, b: 1920 1080 r = = 2 図形的に考えると、2数を辺の長さとする長方形から正方形を切り抜いて新しい小さな長方形を作る, you can read useful information later efficiently. 1 {\displaystyle y} k , 1 exit. What is going on with this article? b を a で割った商を q、剰余を r とすると, このとき d0 は積 qa を割り切るから、和 qa + r も割り切るが、qa + r は b に等しい。したがって、d0 は a とb を割り切る。すなわち a と r の公約数はすべてb と aの公約数である。, d1 は qa を割り切るから差 b - qa を割り切るが、b - qa は r に等しい。したがって、d1 は a とrを割り切る。言い換えると b と a の公約数はすべてa と r の公約数である。, したがって、b と a の公約数全体の集合は a と r の公約数全体の集合に等しく、特に b と a の最大公約数は a と r の最大公約数でなければならない。, 上記の手順は「n, m に対して剰余の演算を行うことができる」という仮定だけに依っているので、整数環だけではなく任意のユークリッド整域においても同様にして最大公約因子を求めることができる。, 整数 m, n の最大公約数 (英: Greatest Common Divisor) を gcd(m,n) と表すときに、（拡張された）ユークリッドの互除法を用いて、mx + ny = gcd(m, n) の解となる整数 x, y の組を見つけることができる。上の例の場合、m = 1071, n = 1029 のとき、, 特に、m, n が互いに素（最大公約数が 1）である場合、mx + ny = 1 の整数解を (x, y) とすると、mx + ny = c は任意の整数 c に対して整数解 (cx, cy) をもつことが分かる。, 一般に、 (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a;b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript||c.scripts[c.scripts.length-2];(b[a].q=b[a].q||[]).push(arguments)};c.getElementById(a)||(d=c.createElement(f),d.src=g,d.id=a,e=c.getElementsByTagName("body")[0],e.appendChild(d))})(window,document,"script","//dn.msmstatic.com/site/cardlink/bundle.js","msmaflink");msmaflink({"n":"マスター・オブ・整数―大学への数学","b":"","t":"","d":"https:\/\/images-fe.ssl-images-amazon.com","c_p":"\/images\/I","p":["\/51Vkh7AQuDL.jpg","\/51-WHIDuCyL.jpg","\/51C71-rav9L.jpg","\/51aOc-hNOPL.jpg","\/51800Lv7RML.jpg","\/41uWWWXbrgL.jpg","\/41rpFrHdN4L.jpg","\/51a9WVafMxL.jpg","\/519hgKewvKL.jpg","\/51qr0LI80UL.jpg"],"u":{"u":"https:\/\/www.amazon.co.jp\/%E3%83%9E%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%96%E3%83%BB%E6%95%B4%E6%95%B0%E2%80%95%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E6%A0%97%E7%94%B0-%E5%93%B2%E4%B9%9F\/dp\/488742017X","t":"amazon","r_v":""},"aid":{"amazon":"1578840","rakuten":"1578837"},"eid":"HBhm1","s":"s"}); ウチダショウマ。数学が大好きな２５歳男性。東北大学理学部数学科卒業→教員採用試験１発合格→高校教師になるも、働き方に疑問を感じわずか１年で退職。現在は塾講師をしながら、趣味ブロガーとして活動中。楽しい。, 確認画面は表示されません。上記内容にて送信しますので、よろしければチェックを入れてください。, $GCD( \ a \ , \ b \ )=GCD( \ b \ , \ r \ )$、つまり最大公約数が動かない！, \begin{align}GCD( \ a \ , \ b \ )&=GCD( \ b \ , \ r \ )\\&=GCD( \ r \ , \ R \ )\\&=…\end{align}, 割り算を繰り返すことで最大公約数が求まることはわかったよ！ただ、なんで $GCD( \ a \ , \ b \ )=GCD( \ b \ , \ r \ )$ が成り立つのかがわからないなあ…。, では次に、$GCD( \ a \ , \ b \ )=GCD( \ b \ , \ r \ )$ がどうして成り立つのか、考えていきましょうか。, 最大公”約数”、つまり”約数”なわけですから、大小関係がつきやすいんですよ。また、「～以上であり、かつ～以下」が言えれば、値は等しくなるしかありませんね。等式の証明でよく使うテクニックです。, \begin{align}194×6+97=1261 \ ⇔ \ 97=1261-194×6　…②\end{align}, \begin{align}1261×5+194=6499 \ ⇔ \ 194=6499-1261×5　…③\end{align}, \begin{align}97&=194-97\\&=194-(1261-194×6)\\&=194×7-1261\\&=(6499-1261×5)×7-1261\\&=6499×7-1261×36\end{align}, \begin{align}527=19×27+14 \ ⇔ \ 14=527-19×27　…④\end{align}, \begin{align}1073=527×2+19 \ ⇔ \ 19=1073-527×2　…⑤\end{align}, \begin{align}1&=5-4×1\\&=5-(14-5×2)×1\\&=5×3-14\\&=(19-14×1)×3-14\\&=19×3-14×4\\&=19×3-(527-19×27)×4\\&=19×111-527×4\\&=(1073-527×2)×111-527×4\\&=1073×111-527×226\end{align}, 実は一次不定方程式は、特殊解を求めることができれば解けたも同然なんです！だから、ユークリッドの互除法はとても重宝するんですね～。, なるほど！「 ～ $=1$ 」の特殊解さえ見つけることができれば、「 ～ $=2$ 」や「 ～ $=3$ 」は両辺を $2$ 倍，$3$ 倍することですぐに求められるのね！, 当たり前ですが、あくまで裏ワザなので成り立つ原理は同じです。原理を理解しないで使える裏ワザなど、この世に存在しません。, 問題. #include . 計算量. つまり，2×8+(-3)×5=1と変形できます。, ⑤：5=21-2×8と変形でき，これを上の式に代入すると2×8+(-3)×(21-2×8)=1 縦が $377 \ (cm)$、横が $319 \ (cm)$ の長方形の中を、同じ正方形を使ってすきまなく敷き詰める。このとき、条件を満たす正方形のうち、最大のものを求めなさい。, 「整数の性質」の総まとめ記事です。本記事では、整数の性質の解説記事全２５個をまとめています。「整数の性質をしっかりマスターしたい」「整数の性質を自分のものにしたい」という方は必見です。, $GCD( \ a \ , \ b \ )≧GCD( \ b \ , \ r \ )$, $GCD( \ a \ , \ b \ )≦GCD( \ b \ , \ r \ )$, (2)　…　$1$ → $4$ → $5$ → $14$ → $19$ → $527$ と $1073$, $GCD( \ a \ , \ b \ )=GCD( \ b \ , \ r \ )$、つまり最大公約数が動かないことこそが、互除法の原理である。. 基礎編・センター対策, 上野竜生です。○x＋△y=1を満たす整数x,yの組を1組見つけるのがユークリッドの互除法の大きなメリットです。その方法を解説します。なお，見つけた後の応用分野については別の記事で行います。, xとyが互いに素（最大公約数が1）ならばax+by=1となる整数a,bが存在します。, そしてユークリッドの互除法をうまく応用すればaとbが互いに素のときax+by=1となるx,yを計算することができます。, ユークリッドの互除法は万能なのでこの例題でも使えます。しかし，この程度なら適当に見つけるほうが楽でしょう。, 両辺に-1をかけると 1 2つの整数の最大公約数（greatest common divisor; GCD）を求めるシンプルで効率的なアルゴリズム「ユークリッドの互除法」について、原始的な方法から始めて普段触れられない内容まで発展させる。, ユークリッドの互除法は自然数同士の最大公約数を求める方法と言われるが、わずかな工夫で整数同士の最大公約数が求められる。, 毎回数学的な説明に沿って実装し直すのではなく、ひとつの実装から出発してコードの効率化・拡張を進めていく。, ちなみに、いくつかの事柄は記事「再帰的なアルゴリズムの実例集」でも触れた。しかしそこでは書き足りなかったので独立した記事にした。, 互除法を何度も実装するにあたり、動作確認するために必要な共通部分は括り出しておく。ファイル "gcd" の中身を以降で実装する1。, そもそもユークリッドの時代に0の概念は無かったはず。以下の実装では「引数が自然数であることのチェック」と「割り切れることの判定」にのみ0が登場する。, 最も単純な方法。初めからループで考えても難しくないが、再帰的に考えてより小さな問題に変形していく。, 再帰的なので関数は何度も呼び出される。その引数を出力してみると、例えば gcd(1920, 1080) は以下のように動作する。, 図形で表すと以下の通り。最初は 1920x1080 の長方形で、短辺の大きさに合わせて左上から正方形を取り除くと 840x1080 の新しい長方形ができる。それを繰り返すと最後は右下に 120x120 の正方形が残り、最大公約数を表している。, 引き算で減らしていくのは、結局、大小関係が逆転するまで同じ引き算を続けるということになる。これは剰余を求めることで一発で完了する。ただし割り切れる場合は引き算をしすぎて0になってしまうので、再帰呼び出しはせず除数を返すようにする。, a == b の場合も割り切れる場合に含まれるので、if文で個別の節にする必要はなくもう少し簡単にできる。, 剰余を求めると一発で引数の大小関係が逆転する。それならif文の a ≧ b と a < b の節は交互に実行されるわけで、毎回分岐させるのは無駄になる。どうにかして無駄を省きたい。, よく見るとどちらの処理も「大きい方を小さい方で割った余りを求める」という同じ処理になっている。ならば引数の大小関係をルール化すれば分岐不要になる。ここでは第1引数が大きいと決めて、再帰呼び出しの際の引数を修正する。, こうするとユーザーが関数呼び出しするときは a < b が可能になってしまい、 a ≧ b を守れない問題があるように見える。しかし実はそれへの対処は必要ない。実際に試してみると、最初に再帰呼び出しするときに大小関係を直してくれる。, 0はどんな自然数で割っても余りが出ない。なのであらゆる自然数が 0 の約数となっている2。, すると、ある自然数 a と 0 の最大公約数は a と考えればいい。これが再帰の基本ケースとなる。 b==0 ということはそれ以上再帰しようとするとゼロ除算エラーが発生するので、終了条件として都合がいい。, 実装では、 a が 0 で b が自然数ということもありうるので、引数の条件を緩めておく。ひとつ前提に沿わない入力が可能な件は次節で扱う。, 既に実装してしまったが、 a と b が両方 0 なら最大公約数 gcd(0, 0) はどうすればいいだろう？　この答えの案はいくつかある。, 最大公約数の本来の意味を考えると無限大が良さそうだが、 0 とするのが簡単であるしそれで滅多に困らない。無限大や未定義を導入すると、整数に収まらないし、3個以上の最大公約数（おまけ参照）を考えるときにそれらに対する演算も考える必要ができてしまう。, これで晴れて「非負整数 a と 0 の最大公約数は a」が成り立つ。二項演算の結果が相手の数になるものを単位元という。（例えば、足し算なら0、掛け算なら1）, gcd(0, 0) = 0 としたことで困る状況もある。ふつう最大公約数は両引数を割り切ることができるが、0だとゼロ除算エラーを引き起こしてしまう。最小公倍数（LCM）を実装する場合などは要注意3。, 3個の数の最大公約数を求めるときは、2個の結果と3個目との最大公約数を求めればいい。, gcd(0, 0) = 0 と決めたことで、 a=b=0 であっても問題なく計算できる。, すると n≦2 の場合にも拡張できて、最終的に「0個の数の最大公約数は0（単位元）」という結果が得られる。細かい意味はともかくとして、計算を実装する場合はそうしておくのが綺麗。, ちなみに、n個の数の中にひとつでも 1 があれば、あるいはforループの途中で d==1 になれば、最大公約数は 1 になる。考えている問題によってはそこでループを打ち切る処理を入れてもいいかもしれない。, なお、実装の際に絶対値関数absを使うので、absが正しい値を返さない INT_MIN = -231 を引数に含むgcdは未定義とする。（その辺の事情は算術オーバーフローの節を参照）, これは0のときより簡単。負の数を割り切れる整数は正の数を割り切れる整数と全く同じ。なので約数を考えるときに符号を気にする必要は無い。最大公約数の計算では、単純には引数の絶対値をとって計算すればいい。, 前節の方法では再帰呼び出しの度に引数の絶対値を計算していて無駄に感じる。実は毎回絶対値を計算する必要は無く、再帰の基本ケースで絶対値を返すだけで済む。, ここで疑問になるのは、剰余の計算で負の数を使うとどうなるのかということ。これは言語によって結果が変わり4、そのため普通は利用を避けることが多い。しかし互除法の場合はどの結果でも正しく計算できるため問題ない。, 整数同士の割り算 a ÷ b (b≠0) において商 q と余り r は以下の式を満たす整数である。, これだと q と r の組み合わせは無数に考えられるため、 r のとれる範囲に条件を置いて一意になるようにする。この条件は a と b が自然数なら 0 ≦ r < b と考えるのが自然であり特に問題ないが、負の数だと意見が分かれる。, ただしどの立場でも |r| < |b| は守るため、gcdの第2引数の絶対値が小さくなることが保証され再帰的に計算できる。, int型での負の整数の表現によく使われる「2の補数」は、正の数より負の数のほうが表せる数がひとつ多い。 INT_MIN = -231 はint型で表せるが、これを符号反転させた 231 はint型で表せない。そのため gcd の引数に INT_MIN があると正しく計算できない可能性がある。（short型やlong型などでも同様の事情がある。任意長整数型なら大丈夫。）, 互除法で使用している演算では、まず abs(INT_MIN) が計算できない。この結果はC言語では未定義だが、 231 と同じビットパターンである INT_MIN 自身を返す可能性が高い。エラーにならなければ計算は続けられるものの、 gcd の戻り値がマイナスになる可能性があるため注意。（ abs(INT_MIN) == INT_MIN を許しているなら gcd(INT_MIN, 0) == INT_MIN を許してもいい気はする）, もうひとつ、 INT_MIN % (-1) も問題がある。これは数学的には答えが 0 になるので一見大丈夫そうだが、CPUが除算命令を使っていると INT_MIN / (-1) を計算するためエラーになってしまう。コンパイラが対処してくれる可能性があるらしいが、信用できないときは自力で対処しなければならない。, この辺の対策を組み込むとコードが冗長になるので、記事では「引数に INT_MIN があるときの動作は未定義」としている。, ユークリッドの互除法の効率について、「桁数の5倍以内の再帰回数で済む」という話があり、スタックオーバーフローを特に気にしなくていい根拠になっている。これはどう決まっているのか、そしてもっと減らすことはできないのか見ていく。, 剰余を求める際に商 q も見てみると常に1になっている。このため1回の剰余計算であまり小さくならない。, b などに表れている数列はフィボナッチ数。この数列はおよそ $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1.6$ 倍で増えていくので、互除法では再帰1回毎に約1/1.6に減少する。そのため再帰回数は十進桁数の $\log_\phi {10} \simeq 4.8$ 倍程度となる。最悪とは言っても桁数に比例するので十分高速であり、int型の範囲であれば50回もかからない。, フィボナッチ数の例では、gcdの引数が約1/1.6ずつ小さくなるという遅い変化だった。この倍率が改善されれば再帰が少なく済む。, その方法のヒントは既に得ている。負の数の剰余のところで剰余が負になっても互除法に影響が無いことを見た。すると新しい条件として、剰余の絶対値が除数の半分以下（最小）になるように計算することもできる。自然数同士の計算でも剰余が負になりうることに注意。, ふつうの剰余演算はこの方法を採用していないので、剰余を求める関数を適当に自作して使う。, これで本当に再帰回数が減るのか見ていく。前節と同じフィボナッチ数で試すと、 b がひとつ飛ばしで小さくなっている。, 最悪ケースは商が常に2になるときで（多分）、ペル数という名前がついている。数列の公比は $\tau = 1+\sqrt{2} \simeq 2.4$ に収束するので再帰回数は十進桁数の $\log_\tau {10} \simeq 2.6$ 倍程度となる。元のアルゴリズムの半分近い回数になっている。, ただし、計算量のオーダーとして見ると桁数に比例することは変わっていない。また、剰余の計算が複雑になっているので、それを考慮すると再帰1回あたりの処理が重くなりかえって効率が下がっていると考えられる。, return 関数呼び出し(引数); となっているところを、引数の上書きと先頭へのジャンプに置き換える。, goto文は大げさなのでwhile文で同じ形を実現する。全体を無限ループにしておき、gotoの代わりにcontinueを書けば先頭へのジャンプを再現できる。, 無限ループの先頭で脱出条件を書いているのなら、否定に変えてwhile文の条件に組み込んでしまえばいい。ついでに、末尾のcontinueも意味ないので除く。, 記事中では使っていないが、再帰関数をラッパー関数で包んで前処理を入れている場合は、ループの前に同様の処理を入れればいい。, 例として、事前に引数を非負整数に直すことで絶対値最小剰余を簡略化してみる。最大公約数で符号は考えなくていいので、剰余が負になるときは符号を反転させる。.

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